Teve
A púp fogalmához absztrakció útján jutunk, elvonatkoztatjuk a tevékből, ami közös. Megjegyzés: A tevét, mint szubsztanciát bevezethettük volna úgy is, hogy definiáljuk az egy púpú tevét (továbbiakban P.1.), és ezt a fogalmat a púpok számára vonatkozó teljes indukcióval általánosíthatjuk.
Nem törekszünk teljességre a tevékkel kapcsolatos összes jelenség megragadásával, hanem csak a könnyebb megértésre, amely nem megy ezáltal az általánosság rovására.
I. DEF.: Egy púpú tevének nevezzük azt a tevét, amelynek egy, és csakis egy púpja van.
A. 1. Beszélhetünk végtelen sok egy púpú tevéről, az ún. ideális tevéről.
A. 2. Általánosabb értelemben a lovat 0 púpú tevének nevezzük és P.0-lal jelöljük.
TÉTEL: Minden teve vagy egypúpú vagy két púpú vagy több.
I. BIZ.: Tegyük fel a tétel ellenkezőjét, vagyis azt, hogy van olyan teve, amely sem egy púpú, sem két púpú, sem több. Az ilyen teve púpjainak száma A.2. miatt 0, és így ez a teve ló. Ellentmondásba kerültünk eredeti feltételünkkel, tehát indirekt feltevésünk helytelen volt.
A tétel érdekessége és fontossága miatt még egy szemléletes, de az általános tárgyalást nem csorbító bizonyítást adunk.
II. BIZ.: Képzeljünk el egy nagy sivatagot. A sivatagban homok van, valamint egy karaván. A karavánúton tevék mennek. Minden tevén egy, és csak egy tevehajcsár ül. (Mivel a tevéknek véges sok púpjuk van, feltehetjük, hogy egyik tevehajcsár sem ül tevéje púpján.) Ily módon a tevehajcsárok és a tevék között kölcsönösen egyértelmű megfelelést hoztunk létre. A karaván két végpontjához illeszkedő egyenes által meghatározott két félsík közül az egyikben éppen most megy le a nap. Az ég alja sötétedni kezd. Elfogy az élelem és a víz. A karavánvezető harsonájába fúj. A tevehajcsárok megkérdik tevéjüktől. „Hány púpod van?" A tevék hátratekintenek, és megszámolják. (Ez lehetséges az I. def. értelmében.)
újabb harsonázás. A tevék a hajcsárok fülébe súgnak, majd
1. hajcsár: „Teve van egy púpú."
2. hajcsár.: „Teve van két púpú."
n. hajcsár: „Teve van n-púpú."
Feltehetjük, hogy a hajcsárok és a tevék igazat mondtak, és ezzel tételünk bizonyítást nyert.
B. Előfordulhatna, hogy van olyan teve, amelyik nem mondott igazat, de ezt axiómarendszerünkön belül eldönteni nem tudjuk. Annyit azonban II/2 utolsó tétele szerint mondhatunk, hogy ez a teve hazudós teve.
Bx. Kizárólag konvex tevéről szóltunk. Konkáv tevékre általában nem igaz, ilyen tevékre tevehajcsár fel sem ül.
Nem törekszünk teljességre a tevékkel kapcsolatos összes jelenség megragadásával, hanem csak a könnyebb megértésre, amely nem megy ezáltal az általánosság rovására.
I. DEF.: Egy púpú tevének nevezzük azt a tevét, amelynek egy, és csakis egy púpja van.
A. 1. Beszélhetünk végtelen sok egy púpú tevéről, az ún. ideális tevéről.
A. 2. Általánosabb értelemben a lovat 0 púpú tevének nevezzük és P.0-lal jelöljük.
TÉTEL: Minden teve vagy egypúpú vagy két púpú vagy több.
I. BIZ.: Tegyük fel a tétel ellenkezőjét, vagyis azt, hogy van olyan teve, amely sem egy púpú, sem két púpú, sem több. Az ilyen teve púpjainak száma A.2. miatt 0, és így ez a teve ló. Ellentmondásba kerültünk eredeti feltételünkkel, tehát indirekt feltevésünk helytelen volt.
A tétel érdekessége és fontossága miatt még egy szemléletes, de az általános tárgyalást nem csorbító bizonyítást adunk.
II. BIZ.: Képzeljünk el egy nagy sivatagot. A sivatagban homok van, valamint egy karaván. A karavánúton tevék mennek. Minden tevén egy, és csak egy tevehajcsár ül. (Mivel a tevéknek véges sok púpjuk van, feltehetjük, hogy egyik tevehajcsár sem ül tevéje púpján.) Ily módon a tevehajcsárok és a tevék között kölcsönösen egyértelmű megfelelést hoztunk létre. A karaván két végpontjához illeszkedő egyenes által meghatározott két félsík közül az egyikben éppen most megy le a nap. Az ég alja sötétedni kezd. Elfogy az élelem és a víz. A karavánvezető harsonájába fúj. A tevehajcsárok megkérdik tevéjüktől. „Hány púpod van?" A tevék hátratekintenek, és megszámolják. (Ez lehetséges az I. def. értelmében.)
újabb harsonázás. A tevék a hajcsárok fülébe súgnak, majd
1. hajcsár: „Teve van egy púpú."
2. hajcsár.: „Teve van két púpú."
n. hajcsár: „Teve van n-púpú."
Feltehetjük, hogy a hajcsárok és a tevék igazat mondtak, és ezzel tételünk bizonyítást nyert.
B. Előfordulhatna, hogy van olyan teve, amelyik nem mondott igazat, de ezt axiómarendszerünkön belül eldönteni nem tudjuk. Annyit azonban II/2 utolsó tétele szerint mondhatunk, hogy ez a teve hazudós teve.
Bx. Kizárólag konvex tevéről szóltunk. Konkáv tevékre általában nem igaz, ilyen tevékre tevehajcsár fel sem ül.
